2025
Нейросетевые методы численного решения дифференциальных уравнений
Спецкурс проводится в весеннем семестре на факультете ВМК МГУ и посвящён методам решения прямых и обратных задач для дифференциальных уравнений с помощью нейронных сетей.
Существуют подходы как с учётом только данных, так и с опорой на математические модели; аппроксимирующие как само решение уравнения, так и операторы, отображающие пространство некоторых функций из условия задачи в пространство решений. Достоинства таких инструментов - в возможности гибко настраивать сетку и работать с входными данными разного разрешения.
Помимо задач математической физики, рассматриваемые в курсе методы находят применение и в других областях, так как способны аппроксимировать также функции и операторы общего типа.
Существуют подходы как с учётом только данных, так и с опорой на математические модели; аппроксимирующие как само решение уравнения, так и операторы, отображающие пространство некоторых функций из условия задачи в пространство решений. Достоинства таких инструментов - в возможности гибко настраивать сетку и работать с входными данными разного разрешения.
Помимо задач математической физики, рассматриваемые в курсе методы находят применение и в других областях, так как способны аппроксимировать также функции и операторы общего типа.
Преподаватели спецкурса
Крылов Андрей Серджевич
Доктор физико-математических наук
Профессор, заведующий лабораторией математических методов обработки изображений ВМК МГУ
Профессор, заведующий лабораторией математических методов обработки изображений ВМК МГУ
Основные научные интересы: гибридные (нейросетевые + классические) методы обработки и анализа изображений
Пчелинцев Яков Антонович
Кандидат физико-математических наук
Младший научный сотрудник лаборатории математических методов обработки изображений ВМК МГУ
Младший научный сотрудник лаборатории математических методов обработки изображений ВМК МГУ
Основные научные интересы: математические методы обработки и анализа изображений, обработка биомедицинских изображений
Пенкин Максим Александрович
Математик лаборатории математических методов обработки изображений ВМК МГУ
Основные научные интересы: нейронные операторы для анализа и обработки медицинских изображений, оптимизация нейронных сетей, современные практики программирования на Python
Жебрик Леон Леонидович
Аспирант ВМК МГУ
Основные научные интересы: распознавание образов, машинное обучение, глубокое обучение, математическая оптимизация
Требования к слушателям
Необходимы базовые знания в области математического анализа, математической физики (дифференциальные уравнения, принципы постановки задач с ними), машинного обучения (нейронные сети) и умение программировать на Python.
- Теорема об универсальной аппроксимации функций и операторов. Понятие нейронного оператора и физически информированных нейронных сетей.
- Physics-Informed Neural Network (PINN) для решения прямых и обратных задач для дифференциальных уравнений.
- Алгоритм обучения PINN и основные методы повышения его эффективности.
- Использование библиотеки DeepXDE для создания PINN.
- Теорема об универсальной аппроксимации функций и операторов.
- Архитектура Fourier Neural Operator (FNO).
- Математическая постановка задачи построения нейронного оператора, действующего в паре функциональных пространств на примере уравнений Бюргерса и Дарси.
- Элементы практической реализации FNO: преобразование Фурье в Python, слой SpectralConv.
- Альтернативная формулировка теоремы об универсальной аппроксимации функций и операторов. Архитектуры DeepONet и Kolmogorov-Arnold Network (KAN).
- Использование архитектур DeepONet и DeepOKAN для решения задач для дифференциальных уравнений.
- Элементы практической реализации архитектуры DeepOKAN.
В процессе прохождения курса будет необходимо выполнить 3 домашних задания, направленные на реализацию архитектур FNO и KAN и решение прямых и обратных задач для дифференциальных уравнений с помощью PINN, FNO и DeepOKAN.
Студенты, прослушавшие курс, получат базовые знания о методах решения дифференциальных уравнений с помощью нейронных сетей, изучат основные нейросетевые архитектуры, применяемых в этой области.